கணிதவியல் - 1 பக்கம் 1

பாடம் 1 - அணிகள் 

(Unit 1 - Matrices)

ஆசிரியர் : இராஜ்குமார்

கணிதவியல் - 1 - முதல் அரையாண்டு

பக்கம் 1

1.0 அறிமுகம்

இந்தப் பாடப்பிரிவில் அணிகளின் பான்மை மதிப்பையும் (eigen value), பான்மை திசையனையும் (eigen vector) நாம் பார்க்கப் போகிறோம்.

1.1 மெய்யெண் அணியின் பான்மை மதிப்பும், பான்மை திசையனும்

’பான்மை’ என்று இங்கு கையாளப்படும் சொல்லுக்கு ஆங்கில கணிதவியல் நூல்களில் 'eigen' என்று குறிப்பிடுவர். இது ஒரு செருமானியக் (German) கலைச் சொல்லாகும். இச்சொல்லிற்கு ’சரியான, பான்மையான, சிறப்பான’ என்று பொருள்.

பான்மைத் திசையன்

ஒரு சதுர அணியுடன் எந்த சுழி மதிப்பற்ற திசையனின் பெருக்கல் தொகை, அந்த திசையனின் அளவிப் பெருக்கல் தொகைக்கு சமமாக இருக்கிறதோ அது அந்த அணியின் பான்மைத் திசையன் எனப்படும்.

பான்மைத் மதிப்பு

ஒரு சுழியற்ற திசையனுடன், அதன் ஒரு சதுர அணிப் பெருக்கல் மதிப்புக்கு சரி நேர் விகிதமாக இருக்கும் பொழுது, ஏற்படும் சமன்பாட்டு அளவி மதிப்பே அந்த அணியின் பான்மை மதிப்பு எனப்படும்.

முதலில் ஒரு சதுர அணியை (square matrix) என்று கொள்க. பிறகு பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பார்க்க.

சமன்பாடும் (1)



இதில் உள்ள (’இலாம்டா’) என்பது ஒரு அளவி (scalar). சுழி மதிப்பற்ற என்பதே பான்மைத் திசையன் ஆகும்.

எனவே, சுழி மதிப்பற்ற (non-zero) ஒரு திசையனை ஒரு சதுர அணியுடன் பெருக்கும் தொகையுடன், அதே திசையனுக்கு ஒரு அளவியினால் பெருக்கும் தொகை சமமாக இருக்கும்படியாக அமைவதே பான்மைத் திசையன் ஆகும். அதனால், சமன்பாடு (1) இல் ஆக இருக்கும் போது, யை அணியின் பான்மை திசையன் என்பர். வை பான்மை மதிப்பு என்பர்.

அணியின் பான்மை மதிப்பு அனைத்தின் கணமும் அணியின் எண்மாலை (spectrum) என்பர். இந்த அணியின் எண்மாலையானது குறைந்தது ஒரு பான்மை மதிப்பையாவது கொண்டிருக்கும். இப்பான்மை மதிப்புகளின் மிகப்பெரும் தனி மதிப்பை அணியின் எண்மாலை ஆரம் (spectral radius) என்பர்.



(இப்படத்தில் உள்ளபடி, அணியானது திசையனை திசை மாறாமல் நீட்டுகிறது. எனவே என்பது அணியின் பான்மைத் திசையனாகும்.)

1.2 பான்மைத் திசையனையும், பான்மை மதிப்பையும் எப்படி கண்டறிவது ?

ஒரு அணியின் பான்மைத் திசையனையும், பான்மை மதிப்பையும் தீர்மானிப்பதில் ஏற்படும் சிக்கல் பான்மை சிக்கல் எனப்படும். இது போன்ற சிக்கல் இயல்பான பயன்பாடுகள், தொழில்நுட்பப் பயன்பாடுகள், வடிவுசார் பயன்பாடுகள் போன்றவற்றில் பெரும்பாலும் இடம்பெறுவதாகும். இதனை முதலில் ஒரு எடுத்துக்காட்டுக் கணக்கின் மூலம் தீர்ப்போம். அதன்பின் இதனைத் தீர்மானிக்கக்கூடிய ஒரு பொதுத் தீர்வு முறையைக் காண்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 - பான்மைத் திசையனையும், பான்மை மதிப்பையும் கண்டறிதல்

எடுத்துக்காட்டாக என்ற பின்வரும் சதுர அணியை எடுத்துக்கொள்வோம்.



தீர்வு :

அ) பான்மை மதிப்புகள். பான்மை மதிப்புகளையே நாம் எப்போதும் முதலில் கண்டறிதல் வேண்டும். அதனைக் கண்டறிய கொடுக்கப்பட்ட அணியை சமன்பாடு (1) இல் பொருத்துக.



அடுத்த பக்கம்