எண்ணியல் - 2

இராம.கி

MONDAY, APRIL 19, 2010


நாம் இளமையில் அறிந்த 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,,,,,,,, என்பவை போன்ற எண்ணிறந்த பதின்மக் கட்டக (decimal system) எண்களை, முழு எண்கள் (whole numbers) அல்லது சாத்தார எண்கள் (ordinary numbers) என்று சொல்லலாம்.

[சாத்தாரம் என்ற தமிழ் வழக்கு சாதாரண என்ற வடபுல வழக்காய்ச் சொல்லப்படும். அதன் தமிழ்மூலம் தெரியாத பலரும் வடமொழி வழக்கு என்றே எண்ணிக்கொண்டு விடுகிறார்கள். ஆனால் உண்மை அதுவல்ல. இந்தக் காலத்தில் குப்பன், சுப்பன் என்று பொது மாந்தனைச் சிலர் அழைப்பது போல அந்தக் காலத்திற் சந்தை (கடைவீதி) மாந்தனைச் சாத்தன் என்றே விளித்தார்கள். (சால்தல் = சாற்றல்>சாட்டல்>சாத்தல் = விலை சொல்லுதல் = விற்றல் = sale.) சங்க இலக்கியத்தில் சாத்தன் என்ற சொல் மிகவும் அதிகம் பயன்படும். சாத்தன், வடபுலத்து seth, தென்புலத்துச் சாற்றி>சாட்டி>செட்டி ஆகியவையெல்லாம் சால்தல் என்னும் கருத்தில் அமைந்த பல்வேறு சொற்களாகும். தமிழ்நாட்டில் இருக்கும் பல்வேறு ஐயனார் கோயில்களெல்லாம் சாத்தன் கோயில்கள் தாம். தென்பாண்டி நாட்டில் பலருக்கும் குலதெய்வக் கோயிலாய் ஐயனார் கோயில்களே உண்டு. ஐயனார் வழிபாடு பற்றிய ஒழுங்கான ஆய்வுகள் இன்னும் எழவில்லை. எல்லாவற்றையும் ”இந்துமதம்” என்று சொல்லி வேதநெறிக் கூட்டத்தோடு கோவிந்தாப் போடுவதில் பொருளில்லை. (சபரிமலைச் சாத்தனை சாஸ்தா என்றாக்கி வடமொழிப் படுத்தியதையும், அதை இந்தமதத் தொன்மங்களோடு பொருத்தியதையும் இங்கு எண்ணிப் பார்க்கலாம்.) அறப்பெயர்ச் சாத்தனுக்கும் ஆசீவகத்திற்கும் பெருந்தொடர்பு ஆழ்ந்த தொடர்புண்டென்று பேரா. க.நெடுஞ்செழியன் சொல்லுவார். சாத்தர்>சாத்தாரம் என்ற சொற்கள் ordinary மாந்தனை இந்த வகையிற் தமிழிற் குறித்தன.

அதே போல சமனன்>சமணன் என்ற சொல்லும் ஆசீவகம், செயினம், புத்தம் ஆகிய நெறியினரைக் குறித்த பொதுச்சொல்லாகும். கி.மு.500 - கி.பி.500 வரை இந்தியத் துணைக்கண்டத்திற் பெரும்பகுதியினர் இம்மூன்று நெறிகளில் இருந்தார்கள். இந்தப் பட்டகையின் (fact) காரணத்தால், சமனன் என்ற சொல்லும் பொதுமக்களைக் குறிக்கத் தொடங்கிற்று. சமனத்தில் இருந்து சமனம்>சாமனம்>சாமன்யம்>சாமான்யம் என்ற திரிவில் இன்னொரு சொல் விளைந்தது. இன்று பயன்படுத்தும் சாதாரணம், சாமான்யம் போன்றவற்றின் பின்புலம் இதுதான். எல்லாவற்றையும் வேதநெறி, வடமொழிவழியே பார்த்துக் கொண்டேயிருந்தால் துணைக்கண்டத்தின் இன்னொரு விதப்பான வேதமில்லா நெறிகள், தமிழ்வழி போன்றவை விளங்காமலேயே போகும். புரிய வேண்டியவர்களுக்குப் புரிந்தாற் சரி.]

பதின்மக் கட்டகத்தின் முழுவெண்களை (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...........) மாந்தவாக்கம் (man made) என்று கொள்ளாது, இயற்கையானவை என்றே கருதி, இவையடங்கிய எண்கொத்தை இயலெண் கொத்து (Set of natural numbers N) என்று கணிதத்தில் அழைப்பார்கள். இயலெண்கள் என்பவை நமக்குக் ”கொடுக்கப் பட்டவை” (given) என்றே புரிந்துகொள்ளப் படுகின்றன. கூடுதல், கழித்தல், பெருக்குதல், வகுத்தல் என்ற 4 செய்முறைகளுக்கு இந்த எண்களை ஆட்படுத்துகிறோம்.

கூட்டுதல் என்பதைச் சேர்த்தல் என்றும் ”கணக்கதிகாரம், கணித நூல்” போன்ற பழஞ்சுவடிகளில் சொல்லுகிறார்கள். கூட்டுதலில் மேலும் ஒரு விதப்பான கணக்கு உண்டு. அதாவது, ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளி கொண்ட இயலெண்களைச் சேர்த்துக் கூட்டுவது. காட்டாக 1 இல் இருந்து 10 வரை உள்ள எண்களைக் கூட்டி 55 என்று விடை சொல்லுவது. இற்றை முகனக் கணிதத்தில் (modern mathematics) இதை எண்ணியல் அடுக்கம் (arithmetic progression) என்று சொல்வார்கள். பழைய கணக்கதிகாரத்திலும், ‘கணித நூலிலும்” இது ஏற்றானடி, படியடி என்று சொல்லப்பெறும். (ஏற்றம் = உயரம், ஒரு எண்ணிற்கும் இன்னொரு எண்ணிற்கும் இடையிருக்கும் ஏற்றம் இது பேச்சுவழக்கில் ஏற்றம்>ஏத்தம்>ஏத்தான் என்று சொல்லப்படும். இந்தப் பேச்சுவழக்கைக் கணக்கதிகாரமும், கணித நூலும் பதிவு செய்திருக்கின்றன. செந்தர வழக்கில் ஏற்று/ஏற்றம் என்று சொல்லலாம். படி என்பதும் எண்களுக்கிடையே உள்ள இடைவெளி உயரத்தைக் குறித்த சொல் தான். ஏற்று அல்லது படி கொண்டு அடுக்கிவருவது அடி என்ற பெயர்ச்சொல்லாற் சொல்லப்பட்டிருக்கிறது. இந்தக் காலத்தில் அடுக்கு/அடுக்கம் என்று சொல்லுவோம். ஏற்றடுக்கம், படியடுக்கம் போன்றவை எண்ணியல் அடுக்கத்திற்கான வேறு சொற்கள் தாம்.

கழித்தல் என்னும் செய்முறை நீக்குதல், தள்ளுதல், களைதல் என்றும் சொல்லப்பட்டிருக்கிறது. ”அதிலிருந்து இதை நீக்க, இதைத் தள்ள, இதைக் களைய” என்ற முறையில் கணக்கதிகாரக் கணக்குகள் வரும். இயலெண் கொத்தில் இரு குறைகள் உண்டு. அதாவது கழித்தல், வகுத்தல் ஆகிய செய்முறைகளில் கிடைக்கும் எண்கள் எல்லாமே இந்தக் கொத்திற்குள் அடங்காமல், வெளியே போக வாய்ப்புண்டு. காட்டாக, 10 இல் இருந்து 7 ஐக் கழித்தால் கிடைக்கும் 3 என்ற விடை, இந்தக் கொத்திற்குள்ளேயே இருக்கிறது. ஆனால், 6 இல் இருந்து 11 ஐக் கழித்தால் கிடைக்கும் -5 என்ற விடை இந்தக் கொத்திற்குள் அடங்காது வெளியே போய்விடும். இதே போல 8 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் 2 இந்தக் கொத்திற்குள் இருக்கிறது. 4 ஐ 12 ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் 0.3333.... இந்தக் கொத்திற்குள் கிடையாது.

பொதுவாகக் கொத்திற்குள் செய்யப்படும் செய்முறையின் விடை கொத்திற்குள்ளேயே இருந்தால் அந்தக் கொத்தை மூடிய கொத்து (closed set) என்பார்கள்.. இப்படி அமையாமலிருக்கும் கொத்தைத் ”திறந்து கிடக்கும் கொத்து”, ”திறந்த கொத்து (open set)” என்று சொல்வார்கள். இயலெண் கொத்து என்பது 4 செய்முறை அடிப்படையில் ஒரு திறந்த கொத்தாகும். இயலெண்கள் போன்ற திறந்த கொத்தில் முன்னாற் சொன்ன 4 செய்முறைகளையும் முழுமையாய்ச் செய்ய முடியாது; கூட்டல், பெருக்கல் என்ற இரண்டை மட்டுமே செய்ய முடியும்.

இனி, பொருட்களைப் பரிமாறிக் கொள்ளுவதில் கொடுக்கல் வாங்கல் என்ற இருவேறு செயற்பாடுகள் தென்படுவதால், நம்மிடம் சேருவதைப் பொதிதல் (to posit) என்று எடுத்துக் கொண்டும், அதற்கு மாறாய்க் கொடுப்பதை ”நம்மிடம் இருந்து போதல், இல்லாது போதல், இறங்கிப் போதல் (இழிந்து போதல்,இழத்தல்), நொய்ந்து போதல் (L. negare) ” என்று உருவகப் படுத்தியும், எண்களுக்கு முன்னால் ஓர் ஆற்றற் திசையை [direction of an action] இனங்காட்டி எண்களை அடையாளப் படுத்துவதும் கணிதத்தில் உண்டு. நொகையெண்கள் (negative numbers) என்ற கருத்தீடு இப்படித்தான் கணிதத்தில் ஏற்பட்டது. .

மேலே சொன்னபடி பொதிவெண்கள் (positive numbers) என்பவை நம்மிடம் வந்து சேர்ந்த பொருள்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். நொகையெண்கள் (negative numbers) என்பவை நம்மிடமிருந்து சென்றுபோன பொருள்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். நம்மிடம் வந்துசேர்ந்த பணத்தைப் பொதிவெண்களாலும், நாம் கொடுக்கவேண்டிய பணத்தை நொகையெண்களாலும் குறித்து, எல்லாவற்றையும் ஒன்று சேர்த்துக் கூட்டிப்பார்த்தால் நிகரப்பணத்தைக் (net cash) கணக்குப் போடமுடியும். நிகரப் பணம் என்பது பொதிவாகவும் இல்லாது, நொகையாகவும் இல்லாது, வெறும் அற்றுப் போனதாக, இல்லாததாக, பாழாக அமையலாம். இந்த நிலையையும் ஓர் எண்ணாக்கி அதைச் சுழி என்றும் சொல்வார்கள்.

{சுழி = zero; வடக்கே போகப் போக வாழைப்பழம் வாயப்பயம் ஆவது போல, ழகரம் யகரமாகும். சுல்>சுள்>சுழு>சுழி>சுழிவு>சுயிவு என்ற திரிவு, காலகாலத்திற்கும் தமிழர்க்குக் குதிரை விற்க வந்த அரபிக்களின் வழியே சுயிவு>ciypher>zero என்று போய்ச்சேர்ந்தது. அரபிக்கள் வழியே போன இந்தியக் கணிதம் தெற்கேயிருந்து போயிருக்கவே பெரும்வாய்ப்புண்டு. சுழியை வடபுலத்தில் சுல்நம்>சுன்னம்>சுன்யம் என்பார்கள். சுழி, சுழியம், சுன்னம், பாழ், அற்றம், புழையம் என எல்லாமே zero -வைக் குறிக்கும் தமிழ்ச்சொற்கள் தான். (புழையப் பட்டதை - துளையப் பட்டதை - பூழப்பட்டது என்றும் சொல்லலாம். இது தான் பூழம்>பூழ்யம்>பூஜ்யம் என்று ஆனது. நம்மவரோ, மூலத்தைத் தொலைத்துப் பூஜ்யத்தைப் பிடித்துத் தொங்கிக் கொண்டு பூச்சியம் ஆக்கி நிற்கிறார்கள். பூழமும் பாழும் ஒன்றோடொன்று தொடர்புள்ளவை.)

இத்தனை சொற்கள் இங்கிருந்தாலும், 19 ஆம் நூற்றாண்டு வரை சுழி என்னும் கருத்தீடு தமிழனுக்குத் தெரியாது என்ற தவறான கருத்தும் எப்படியோ அறிவுலகில் உலவுகிறது. இத்தனைக்கும், சுழி என்னும் கருத்து முதலில் பதிவான ”லோகவிபாக” என்ற செயின ஆவணம் நம்முடைய காஞ்சியிற் தான் கி.பி.458 -இல் எழுதப்பட்டது. இருந்தாலும் தமிழனுக்குச் சுழி பற்றித் தெரியவே தெரியாதாம் ஏனென்றால் இந்த நூல் தமிழில் இல்லையாம், பாகதத்தில் இருக்கிறதாம், :-)))) ) என்ன செய்வது???? முன்னால் கூறிய Georges Ifrah வும் கூடத் தனது The universal history of numbers I, II, III என்ற தனது நூலில் இந்தத் தவறான கருத்தை அப்படியே பதிவு செய்து மறுபளித்திருப்பார் (ப்ரதிபலித்திருப்பார்). [அவர் இரண்டாம் நூலின் 123 ஆம் பக்கம்] சுழியின் தோற்றத்தில் தமிழருக்கிருக்கும் பங்கைப் பற்றியே தனி ஆய்வு யாராவது வரலாற்றாய்வாளர் செய்தால், நன்றாக இருக்கும். ஆய்வுலகில் தமிழர்க்கு உரிய பல செய்திகள் மற்றோருக்கு உள்ளதாய் மாற்றப்பட்டு எழுதியுள்ள குளறுபடிகள் மிகவும் உண்டு. தமிழர்கள் என்று கண்டுகொள்வார்கள்?}

முன்னாற் பார்த்த பொதிவெண்களுடன், புதிதாய்க் கற்பித்த நொகையெண்களையும் (negative numbers), சுழியையும் (zero) சேர்த்து ஒரு பெருங்கொத்தை அமைக்க முடியும். இதைத் தொகுவெண் கொத்து (Set of integers) என்று சொல்லுவார்கள். கூட்டல், கழித்தல் ஆகிய இரண்டையும் சேர்த்துத் தொகுத்தல் [summation] என்று சொல்லுவதால், தொகுவெண் (integer) என்ற பெயரெழுந்தது. தொகுவெண்களை அடையாளப்படுத்தும் போது அவற்றின் செருமானியப் பெயரான zahlen என்பதை வைத்து Z என்று கொத்திற்குப் பெயர்சூட்டுவார்கள். இந்தக் கொத்து [...... -11, -10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3, -2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.........] என்று அமையும். இதனுள் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் ஆகியவற்றைச் செய்து கிடைக்கும் விடைகள் கொத்திற்குள்ளேயே இருப்பதால், அவற்றைப் பொறுத்தவரை இது மூடிய கொத்தாயிற்று. ஆனால், வகுத்தல்முறையின் படி இது ஒரு திறந்த கொத்துத் தான்.

பெருக்கல் என்ற கருத்து நம் மரபில் ”மாறுதல், பழுக்குதல் (பருக்குதலின் பேச்சு வழக்கு)” என்ற சொற்களாலும் அழைக்கப்பட்டிருக்கிறது. [குழித்தல் என்ற சொல் விதப்பாக ஓரெண்ணை அதே எண்ணாற் பெருக்குவதற்குப் பயன்பட்டிருக்கிறது. பழஞ் சோழநாட்டில் ஒரு குழி என்பது 121 சதுரக்கோலைக் குறிக்கும். ஒரு கோல் என்பது இந்தக் கால 11 அடியைக் குறிக்கும்.]

கடைசியாக இருக்கும் வகுத்தல்முறை ஆழமாய்ப் புரிந்து கொள்ளப் படவேண்டியதாகும். ஓரெண்ணை இன்னொன்றால் வகுக்கும் போது வகுபடும் எண் (dividend), வகுக்கும் எண் (divisor), என்று சொல்கிறோம் அல்லவா? இவற்றோடு, வகுத்துக் கிடைக்கும் எண்ணை வகுதி, வகிர்தம் (இது தான் பின்னாற் திரிந்து விகிதம் என்றாகியது; பலரும் விகிதத்தை வடமொழி என்றே தவறாக எண்ணிக் கொள்கிறார்கள்.), பகுதி, ஈவு, கூறு (quotient) என்று பலவாறாகச் சொல்லுவார்கள். வகுத்த பின்னால் மீந்ததை மீதி (remainder) என்று சொல்லுவார்கள்.

வகுபடும் எண் = வகுக்கும் எண் * வகுதி + மீதி

என்ற இந்தச் சமன்பாடு எல்லோருக்கும் தெரிந்தவொன்றாகும். தமிழில்

வகுத்தல் என்பதை ”வகிர்தல், பகுத்தல், ஈளுதல் (=ஈயுதல்), கூறாக்கல், முறித்தல்” என்றும் பலவாறாய்ச் சொல்லலாம். [ஈளும் கருவியான ஈள்+தி = ஈட்டியை இங்கு நினைக்கலாம்.]
வகுபடும் எண் என்பதை ”வகிர்படும் எண், பகுபடும் எண், ஈள்படும் எண், கூறுபடும் எண், முறிபடும் எண்” என்றும் சொல்லலாம்.
வகுக்கும் எண் என்பது ”வகிர்க்கும் எண், பகுக்கும் எண், ஈளும் எண், கூறும் எண், முறிக்கும் எண்” என்றும் சொல்லலாம்.
“வகுதி, வகிர்தம் (>விகிர்தம்>விகிதம்>வீதம்), பகுதி [இது பங்கு என்றும் சொல்லப்படுவது உண்டு), ஈள்வு(>ஈவு), மேனி, கூறு, முறிவு” என்பவை ஒருபொருட்சொற்கள்.

இற்றைத் தமிழில் வகுத்தல், பகுத்தல், விகிதம், வீதம், ஈவு, மேனி, கூறு என்ற சொற்களே புழங்குகின்றன. வகுபடும் எண்ணை வகுக்கும் எண்ணால் வகுப்பதைக் காட்டும் வகையில்

a வகுத்தற்குறி b

என்று ஈரெண் சோடியாகவோ, அன்றி வகுபடும் எண்ணை மேலெண்ணாய்க் [numerator] காட்டி, வகுக்கும் எண்ணைக் கீழெண்ணாய்க் [denominator] காட்டி

r = a/b.

என்றோ, எழுதுவதுண்டு. இப்படி எழுதப்படும் r போன்ற எண்கள் ”அரிதையெண்கள்” (rational numbers) என்று சொல்லப்பெறும். [அரிதல் = வகுத்தல், பிரித்தல், பிளத்தல், வெட்டுதல்.] ஒன்றின் கீழ் மற்றொன்றாய் எழுதாமல், கிடைக்கும் மீதியைப் மேலும் மேலும் வகுத்து அவற்றைப் பதின்மங்களாக [decimals] ஆக மாற்றியும் அரிதை எண்களைக் காட்சிப்படுத்துவதுண்டு. அந்தக் காட்சியில் ஒரு வியத்தகு தோற்றத்தைக் காணமுடியும். ஏதோ ஒரு குறிப்பிட்ட தானம் (place of the digit) வரை பல்வேறு தோயங்கள் (digits) எழுந்து அதற்கு மேல் அதே தோயத்தொகுதிகள் திருப்பித் திருப்பி வருவதைக் காணலாம்.

11.1111111....
15.2323232323.....
7.419419419419......
4.625789946257899462578994......

இங்கே, முதல் எண்ணில் 1 என்னும் தோயம் திருப்பித் திருப்பி வருகிறது. இரண்டாவதில் 23 என்னும் தோயங்கள் திருப்பித் திருப்பி வருகின்றன. மூன்றாவதில் 419 என்பவை திருப்பித் திருப்பி வருகின்றன. ஐந்தாவதில் 62578994 என்னும் எட்டுத் தோயங்கள் திருப்பித் திருப்பி வருகின்றன. இதுபோல, எல்லா அரிதை எண்களும் மீட்டுவரும் தோயங்களைத் (repeating digits) தங்களின் பதின்மப் பகுதியிற் (decimal portion) காட்டிக் கொண்டிருக்கும். அரிதையெண்களுக்கான அடிப்படைத் தோற்றம் இதுவாகும்.

இனி அரிதை எண்களின் அடர்த்தி பற்றிப் பார்ப்போம். 17/2 என்பதை வகுத்து பதின்மானத்திற் குறித்தால் 8.5 என்றாகும். அடுத்து 17/3 என்றால் 5.66666....... என்றாகும். இப்பொழுது 5.6666......ற்கும், 8.5ற்கும் இடையில் அரிதை எண்கள் உண்டா என்றால் ஏராளம் உண்டு என்றே சொல்ல முடியும். இப்படிக் குறிப்பிட்ட இரு எண்களுக்கு நடுவே, அடர்ந்துகிடப்பதால், அரிதை எண்களை அடர்ந்தவை (rational numbers are dense.) என்று சொல்கிறோம். அரிதையெண் கொத்து Q (Set of rational numbers Q)என்றழைக்கப்படும்.

அடுத்து, முற்றிலும் திருப்பித் திருப்பி வாராத தோயங்கள் கொண்ட எண்கள் உண்டா என்றால் உண்டு என்றே சொல்லவேண்டியிருக்கிறது. இது போன்ற எண்களை அரியொணா எண்கள் (irraational numbers) என்று சொல்லுவார்கள். அரிதை எண்களும், அரியொணா எண்களும் சேர்ந்து அமையும் எண்களை உள்ளமை எண்கள் (real numbers) என்று சொல்லுவார்கள். உள்ளமை எண் கொத்து (Set of real numbers R) என்றழைக்கப்படும். ஒரு கோடு இழுத்து அதில் உள்ள புள்ளிகளை 1, 2, 3 என்பவற்றோடு பொருத்தினால், இவற்றிற்கு இடையே அரிதை எண்களும் அரியொணா எண்களுமாய் கணக்கற்ற, வரம்பிலாத, எண்கள் இடம்பெறமுடியும் என்று அறியலாம். இப்படி வரையப்பட்ட கோட்டை உள்ளமைக் கோடு (real line) என்று சொல்லுவார்கள். உள்ளமைக் கொத்தும் உள்ளமைக் கோடும் ஒன்றிற்கொன்று பொருத்தம் கொண்டவை. உள்ளகவெண் கொத்தை வகுத்தற் செய்முறையைக் கொண்டு பார்த்தாலும் அது ஒரு மூடிய கொத்தே என்று புலப்படும்.

seperator